<>>> 複素関数論 2 (3) Kの元0K が存在して,任意のa2 Kに対してa+ 0K = aが成立する.(0K を加 法についての単位元といい,通常は単に0 で表す.) (4) Kの任意の元aに対してあるb2 Kが存在してa+ b= 0 が成立する.このとき b= aと表しaの加法についての逆元という. (5) 任意のa;b;c2 Kに対して(ab)c= a(bc) が成 … %���� ちなみに,この言葉は$~\setR~$上の実変数関数に対しても使われ,特に実解析関数とも呼ばれます. 正則関数は無限回微分可能であることが知られているので,$~h,~ \deriv{h}{n}~(n \in \setN)~$は連続であることが分かる. (ez を冪級数で定義したとき) x,y ∈R に対して、ex+iy = ex (cosy +isiny) であることを示せ。 問題93. よって,$O_1$ が開集合であることが分かった., 次に,$O_2$ が開集合であることを示す. %���� これより,$U_r(w)$ 上で $h(z)=0,~ \deriv{h}{n}(z)=0~(n \in \setN)$ であるから,$~U_r(w) \subset O_1~~$を得る. q�rn�ѱ�J����������|�~��v׼{�~߼;���m�m����?�y�~���o?���Ḁ��n�|���8jTP��Ƚ&՚��Ƙx��tP!�n�,4"3� 46������ �%��S����7����Sfнj\'M���\��a�Hi6==o�2zj�v�遙�����u��1���U��I��\0Iv����:P��a�jDF�"c���רv��[���޵;�l�����z�N������E�t�X�+m&Zn,��&Z�&���5wW:މ�cX��~E-��Mxl�q{L$~ܱ?�] �i���� �F!Ɓ��zyR�D~�)���b�kwtS%�g�փ��A�h��5�|E��D�5��� 5�a�]sq��o����!U�i��ԯ���UF���{e����tߙ���j�(4r�T/�l�ZT�h��)i���2F�M?�c�s�\��=����7�9�=����}���X�c\��k�h�r�(��چ��o�}��L�k4zڳZU���6�.ދ`�H�|�︜����j���A�v����Q��C�'0ؾq֥�c�YR&ۛ�Gv�/��Pk�E>��?��4������/Yb.�䕪M.��� �c��U���u�}o����K]�i�fVU�?�D#�R� �B�����{@����t�f�ૺlP(���f�t1��%�N TL`Dž������}�x�-=���ᆍ�� ��\�0�u6 �S�� �v�j��_�)$�. 一致の定理よりも先に正則関数の「すごさ」についてざっくり知りたい方は,後半のセクションを見て頂けると幸いです., 一致の定理とは,簡単に言うと「ある領域 $D$ 上で定義された2つの正則関数が $D$ 内の曲線上または小領域上で一致していれば,$D$ 上全体で両者が一致している」ことを保証してくれるものです. <> x��]9�%�q�k�>&f`�h�\B��I��eh��{o`�|բl�Fu�Ć �}^��y������ǟ��>����~�������3�^�~�:1����Wk��W��� &��E��>�pn�3��˫�G�^��z�t�a`� �G��nq�WD�_��Lq��H���{��g�x�|��ù��m�hq]�8�WH����X��H6o��u�W�5N��t��{��+��U^ah��C~Umm��`��Kɦx�2�dۑO8�Za��iN��j�}�py�~mz� �5��r�&i�4D�_8���Q{��h�s-��jې���a��� �6l����1�v��Ws�U�*ZF�asλ7��bŀ��!DЃ���6��^�0����_��ӂ�m�-6�����&Z���آ`tM��ӫ����( 複素関数 桂田祐史 2014年9月20日, 2019 年3 月22 日 授業の進行に従い、昨年度の講義ノートを書き換えて行く。 2018年度は(も)、月曜2限(312), 火曜3限(310) に講義を行なう。 この $h$ を用いて仮定(1),(2)を書き換えると,次のようになる:, (1) ある1点 $a \in D$ が存在し, $h(a)=0,~ \deriv{h}{n}(a) = 0~(n \in \setN)~$を満たす., (2) ある1点 $a \in D$ と,$z_k \to a$ かつ $z_k \ne a~(k \in \setN)$ を満たすような $D$ 上の点列 $\{z_k\}$ が存在し,$h(z_k)=0~(k \in \setN)$ を満たす., よって,この $h$ が(書き換えた後の)仮定(1),(2)のいずれかを満たすときに,$D$ 上で $h(z) \equiv 0$ が成り立つことを示せば良いことが分かる., のように定める. 仮定より $a \in O_1$ であるから $O_1 \ne \emptyset$ となるので,あとは2つの集合 $O_1, O_2$ が $D$ の開集合であることを示すだけである., 以下,特に断らない限り「開(閉)集合」は「$D$ の開(閉)集合」を意味するものとする., まず,$O_1$ が開集合であることを示す. これより $z_0 \in O_1$ となり,$O_1$ が閉集合であることが分かった. 複素空間X 上に強多重劣調和な階位関数ϕ: X → Rが存在 することと、X がスタインであることは同値. 本書は,名古屋大学理学部数理学科2年生を対象とした「複素関数論」の講義内容 をもとに加筆した複素関数入門である.複素数の定義からはじめ,正則関数の基本性 質(コーシー・リーマン方程式,コーシーの定理,コーシーの積分表示,テイラー展 上の言葉を借りると,複素関数に対しては「正則関数(微分可能な関数)$~\Leftrightarrow~$解析関数」が成り立っていることが分かります. 複素解析の初歩†<<現在工事中>>本稿においては、関数解析学への応用を念頭に、複素解析のごく初歩的なこと(正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理、Cauchyの積分公式、Cauchyの積分定理、Laurant展開、留数定理)について述べる。そしてこれらのBanach空 ここで,$O_1$ 上の任意の収束点列 $\{ z_k \}$ をとり,その極限が $z_0 \in D$ であるとすると,連続性と $O_1$ の定義から, となる. ここで,$f$ の零点とは,$f(z)=0$ となる点 $z$ のことを言います. �qz z��� P�8r�c�p:K��h��. %PDF-1.5 What is going on with this article? それぞれの部品に使われている材料の物理的・化学的特性について科学的説明が できる. さて,これから学ぶ複素関数論を自転車(工)学にたとえると,われわれの目標は 3から4のあたりに相当します.自転車の開発者であれば5のような知識も要求される stream x��]M�9r��W�{bLj%$�ć��o����ص�X�@ɵfF��݈����/��b��"��ji�v(ZEVW%�D"�e"��aE+���z�]lB��W�;��=~�z����W/��V�v6���㊌n"��Նl�ٙ�z��˽��ڶQ9�jk��ز�Ʃ�Q���>���?��^�o4����PcvhT�����o�|'����n�}��ǮWf�贳� Ɓa���9l ここで注目したいのが,実変数関数に対しては「微分可能な関数$~\Rightarrow~$解析関数」はおろか,「無限回微分可能な関数$~\Rightarrow~$解析関数」ですら成り立たない,ということです. この式の形をよく見ると,その近傍上で$~f~$の値は点$~a~$における情報($~a~$における導関数の値$~\deriv{f}{n}(a)~$など)のみで決まっていることが分かります. (II) 複素空間X 上に連続多重劣調和な階位関数ϕ: X → R が存在しかつ、X 上に強多重劣調和関数が存在することとX がスタインであることは同値. つまり,零点のある除外近傍2内に零点が存在しないことを意味します. この定理から解析接続のお話に繋がっていくそうですが,まだそのことについては知らないので,ここでは解説できません. Wd�j�6^�讅j�P�ܫ4�, �����kw�-:���Y�sL�@�ܙsA�V�ဍ��e�1�O��]PȥЍ3�l0�22����a1���V�;��8�#&�b��ظ�h�Z�v���@Cb[s�.8+PE,�)��F2�D2��ft��"�"���|oc�*'D��E��׮�m��/����v��Tf��ODr}��l�� 16 0 obj ここでは,背理法によりこれを示す., ある$~n \in \setN \cup \{0\}~~$が存在して$~c_0 = \dots = c_{n-1} = 0,~ c_n \ne 0~$であるとする. もし,その正則関数の零点が孤立していなかったら,仮定(2)より $D$ 上で $f$ が恒等的に0となってしまい,仮定に反するからです., 以下,笠原乾吉さんの『複素解析 1変数解析関数』にならって,一致の定理の証明3をしていきます., $D$ 上の関数 $h$ を$~h(z) := f(z)-g(z)~~$のように定める. $D$ 上のある1点の近傍,またはある曲線上で $f$ と $g$ が恒等的に等しければ仮定(2)を満たすので,その形で一致の定理が用いられることが多いと思います., また,一致の定理より,領域 $D$ 上で恒等的に0でない正則関数の零点が孤立していることも分かります. 定理1.2 (R. Narasimhan, (1961)/II(1962)) 1. すると,$U_r(a)$ 上で, が成り立つ. stream ここで,$O_1$ のときと同じような方針で示したくなるが,そもそも $O_2$ は空集合であるかもしれないので,「$O_2$ から任意の点を取る」といったことができない. %PDF-1.5 もし関数$~f~$が点$~a~$の近傍でTaylor展開できたとき,その近傍上では, が成り立ちます. '���M�gx� _�"�%1��X%����΂_l� %PDF-1.5 よって,$\varphi$ の定義より $\varphi(a)=c_n$ であるので,$c_n=0$ が得られた., しかし,これは $c_n \ne 0$ であることに反するので,背理法により $c_n = 0~(n \in \setN \cup \{0\})$ であることが示された.$\square$, (このセクションは僕の個人的な考察を述べたものです.何か意見などがあればご自由にどうぞ.), 結局のところ,正則関数の「すごさ」とは何なのでしょうか. &�)_W�|�hj���?�ɌP͡6]�� ���v�m�aap�P�!^0��m�r��1� ��dÃ7��-�_�,�[ 複素関数の図形的解釈: 等角写像 5. ==��F2��GB��V`L#����x���1 P0 ���`�AU�P��$"M��N�}�P�4���Fy�i9۰�o�r��4Ws��F�(��N�#0\5���zP�k�M'� �%5�lQ�#����'�@�E���2���є�\�|,���l�����B�4�ބq�e�t)B��Y��}�I��_�� !��‹=ƒ�$m��Fh�-f`6ƴ���x�Q��s� cf��6a���/,x������B��1�s�Ŝ���c��k���^�X�|���ߍ���1�6�;)O.�/�)�Z ��3м���H���-��� 0���3�E�� ����7������t$3y�:X�b{���������rF�@��HYrH�� +��c_2=���)A�nDK&H�y�����E���x1˵ Why not register and get more from Qiita? すると,$h$ は $D$ 上正則であり,かつ $h(z)=0 \Leftrightarrow f(z)=g(z)$ を満たす. By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole, By "stocking" the articles you like, you can search right away. 複素解析を少しでも勉強されたことがある方は,「正則関数」について多かれ少なかれ学んだと思います. 僕も正則関数のすごさについて,改めて考え直さなければなりませんね., $z$ の除外近傍とは,$z$ の近傍から $z$ のみを除外した集合のことを言います. ↩, 証明中で正則関数の基本的な性質(Taylor展開と無限回微分の可能性など)と連結性を利用しますが,ここではそれらについて詳しく説明しません. ↩, 「$D$ の開集合」とは,ある $\setC$ の開集合 $O$ により $O \cap D$ と表される集合のことです.「$D$ の閉集合」も同様に定義されます.ただ,今回の場合は $D$ が $\setC$ の開集合なので,「$D$ の開集合」と「$\setC$ の開集合」は同じ意味を持ちます. ↩, $\varphi$ は $U_r(a)$ 上で絶対収束するので,Taylor級数の収束円板 $U_r(a)$ 上で正則になります(cf. 5. ※この記事は,私のブログで執筆した記事『複素解析ゼミノート(1)―一致の定理』を若干編集し,移植したものです., 複素解析を少しでも勉強されたことがある方は,「正則関数」について多かれ少なかれ学んだと思います. この意味をよりクリアにするため,ここで一致の定理の証明の一部を抜粋してみます., 任意の点 $w \in O_1$ に対して $D$ に含まれるように点 $w$ のある $r$-近傍$~ U_r(w) = \{ z \in \setC ~;~ |z-w| < r \}~$をとると,その近傍上で $h$ はTaylor展開可能で,, となる. )V�D�mm��� 2챕'�+*�+�Kr�i�~/44%՟������c��,~����1^�J.�Z��~���O�x���m�\�. %���� ]q!L�����&�f�ч�M]�O�(��I"�f>���}�`�h�3��#�3��{Z�?����B� $w \in O_1$ より $h(w)=0,~ \deriv{h}{n}(w) =0~(n \in \setN)$ であるから,上のTaylor展開と合わせて $h(z)=0~(z \in U_r(w))$であることが分かる. 複素解析の初歩†<<現在工事中>>本稿においては、関数解析学への応用を念頭に、複素解析のごく初歩的なこと(正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理、Cauchyの積分公式、Cauchyの積分定理、Laurant展開、留数定理)について述べる。そしてこれらのBanach空 2. 複素関数の微分: 微分可能性とコーシー・リーマンの関係式 3. 2. タイトル読み. 他にも解析関数の利点はあるとは思いますが,これがその一つだと僕は考えています. 加藤昌英著 (講座数学の考え方 / 飯高茂 [ほか] 編集, 9) 朝倉書店, 2003.2. p�������m�J�Ud�!5A1�ݸ{[T`،��*Q��T�b��ʝI�~yev[\��B�����ͣ��G3<=n �纰5���φ� �)��Ob� �+�Q�aK�RH�{jk���tի��{��8걮5��!����B���] ��ϏC8�w :P*~����E�=Œ�;���9�eB�_V-7����U���ǚ 複素関数のテイラー展開とその拡張(ローラン展開) 6. このことを頭に入れた上で改めて一致の定理の証明を読み返すと,Taylor展開できることのありがたみがより分かると思います., 「Taylor展開可能」という便利な性質が「微分可能性」を仮定するだけで出てくる… そして今回は,その一つである一致の定理と呼ばれるものを紹介しようと思います. 任意の点 $w \in O_1$ に対して $D$ に含まれるように点 $w$ のある $r$-近傍$~~ U_r(w) = \{ z \in \setC ~;~ |z-w| < r \}~~$をとると,その近傍上で $h$ はTaylor展開可能で,, となる. ごめんなさい., $f,g$ は領域1 $D \subset \setC$ 上で正則な関数とする. stream �v��֢�������eà[�t�a��������z�����;u흺��I�'���1�A���^Ȑ������W��Y2W �&�7�o�� jwBFy@>ؗ�j��iWM�`�Ш5x� ^�� ���pC��+�yf5�RQ^ԿA"K����¥J�&q�ɃC�ê1����V�� �a���`�r�w)edz|����������88�1�49�G�x D`�����D�@���j)}Ѓ�{�0�86Q������.a Y�.�����κ�&�.v�.Ѧ�2vD&�[y�x/��D[?